Durchschnitte

 

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Zielsetzung

Nach Absolvieren dieser Lehreinheit sollten Sie Folgendes können:

• Die Bedeutung und den Gebrauch von Durchschnitten und gewichteten Durchschnitten verstehen
• Damit verbundene Aufgabenstellungen lösen

 

Der Durchschnitt

Gehen wir aus von den Prüfungsnoten eines Stundenten, wir wollen wissen, welche Noten er in den Gegenständen Mathematik, Physik, Informatik, Chemie and Geographie bekommen hat.
Die Noten reichen von 1 bis 10, und für jeden Gegenstand gab es 4 Tests.
Die Ergebnisse sehen wir in der nachstehenden Tabelle:

	Mathematik	Physik	Informatik	Chemie	Geographie
1. Test	8	7	6	6	9
2. Test	9	9	8	8	10
3. Test	9	8	10	9	9
4. Test	10	8	10	8	10

Sagen wir, wir wären interessiert an seiner Leistung in Mathematik, aber wie bewerten wir diese nun? Wir haben 4 Tests, welche wir zu einem Wert zusammenfassen müssen. Eine Addition der Werte ergäbe sofort eine Zahl größer als die beste Note und man müsste extra die höchstmögliche Punktezahl dazuschreiben. Um dies zu vermeiden, dividieren wir die Summe durch die Anzahl der Tests und berechnen damit den Notendurchschnitt:
Durchschnitt für Mathematik =
Dieser Wert liegt nun zwischen 1 und 10 und gibt uns einen guten Eindruck von der Leistung des Studenten in Mathematik.
Genauso wollen wir nun den Durchschnitt für die Physiknoten berechnen:
Durchschnitt für Physik = 
Bis jetzt erhielten wir immer Integerzahlen als Ergebnis, aber das muß nicht immer so sein:
Durchschnitt für Informatik =
was eine rationale Zahl ist.
Allgemein ist die Formel für den Durchschnitt (oder das arithmetische Mittel) für zwei Zahlen wie folgt:
Durchschnitt =
Bei drei oder vier Zahlen ergibt sich:
Durchschnitt =
Durchschnitt =
Für  Zahlen ist die Formel
Durchschnitt =
Das heißt, wir addieren alle Zahlen und dividieren dann durch ihre Anzahl. Für die verbleibenden beiden Gegenstände bedeutet dies folgende Noten:
Durchschnitt für Chemie=
Durchschnitt für Geographie =

Der Gewichtete Durchschnitt

Nehmen wir an, wir wollen nun eine Art Wert für die Fähigkeiten des Studenten in den „exakten Wissenschaften“ errechnen, wir wären aber der Meinung, dass Mathematik etwas wichtiger wäre als Chemie oder Physik.
Da müssten wir der Mathematik einen höheren Wert zuweisen und z.B. der Chemie einen kleineren Wert. Nehmen wir beispielsweise an, Mathematik hätte 50% Anteil an der Gesamtwichtigkeit, Informatik hätte 30%, während Physik und Chemie will nur jeweils 10% Wichtigkeit hätten.
Die errechneten Durchschnitte waren:

Domain	Mathematik	Physik	Informatik	Chemie
Durchschnitt	9	8	8,5	7,75

Unseren Wert erhalten wir dann auf folgende Weise:


Das obige Ergebnis nennen wir den gewichteten Durchschnitt, mit den Gewichten 50%, 10%, 30% and 10%. Diese Gewichte ergeben zusammen 100%. Die Gewichte könnten auch durch Bruchzahlen angegeben werden, die zusammen die Zahl 1 ergeben,
z.B: :

Die Berechnung des gewichteten Durchschnitts geschieht dann wie folgt:

Allgemein gesagt, wenn wir  Zahlen, bezeichnet mit  und die dazu korrespondierenden Gewichte, bezeichnet , sodaß  
Dann ist der gewichtete Durchschnitt gegeben durch:

Die Gewichte können dabei auch wie oben in Prozenten angegeben sein, da

Berechnen wir noch einen weiteren gewichteten Durchschnitt für die Zahlen 130, 240, 100, 220 and 300 mit einer Gewichtung von   and . Hier sehen wir, daß

und dass der gewichtete Durchschnitt

Der Durchschnitt (das arithmetische Mittel), wie wir ihn zu Beginn eingeführt haben, ist ein gewichteter Durchschnitt, bei welchem alle Elemente einen Wert von  haben.