Bruchzahlen: Grundlegende Operationen mit Bruchzahlen

 

	Este proyecto ha sido financiado con el apoyo de la Comisión Europea. Esta comunicación refleja exclusivamente la opinión del autor; la Comisión no se hace responsable de uso alguno que pueda hacerse de la información aquí contenida

 

Zielsetzung

Nach Abschluss dieser Lehreinheit sollten Sie folgendes können:

• Beziehungen zwischen Bruchzahlen herstellen und darstellen
• Rechenoperationen mit rationalen Zahlen durchführen      
• Prozente und Verhältniszahlen bewerten
• Bruchzahlen im realen Leben anwenden

 

Einführung und Darstellung

Wir haben bis dato die Integerzahlen kennengelernt und definiert als

Für diese Zahlen haben wir Rechenoperationen dargestellt wie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und die Division. Von diesen vier ist die Division die einzige, welche nicht zwischen allen Integerzahlen ausgeführt werden kann. Beim Dividieren von Integerzahlen können wir schnell an einen Punkt gelangen, wo Zahlen nicht durch eine zweite geteilt werden können und wo im Divisionsalgorithmus ein Rest verbleibt.
Wenn wir z.B. 16 durch 5 teilen, erhalten wir 3 und einen Rest von 1. Daraus ergibt sich eine Darstellung wie folgt:

oder, allgemein formuliert

dividiert = divisor x quotient + Rest

Nehmen wir nun an, wir hätten eine Gerade von 15 Einheiten und teilen sie durch 3, dann erhalten wir drei Elemente zu je 5 Einheiten. Aber was geschieht, wenn wir dies mit einer 16 Einheiten langen Geraden tun wollen? Natürlich ist es physisch möglich, aber was wäre die genaue Länge eines Drittels von 16? Wir definieren die Länge durch folgende Aussage:

Allgemein definieren wir für zwei beliebige Integerzahlen:

wobei  nicht 0 sein kann. Diese Zahlen, welche keine Integerzahlen sind, sondern Bruchteile derselben, sind auf der Geraden zwischen den Integerzahlen zu positionieren. wie in der folgenden Darstellung:

      -3       -2      -1       0       1        2        3

Halten wir fest, dass sich  zwischen  und  befindet.
Wir sehen auch, dass die Integerzahl 2 als Bruchzahl auf mehr als eine Weise repräsentiert werden kann:   und dasselbe gilt für jede Bruchzahl.
Generell gilt

En general

für alle  Integerzahlen.

Für alle Bruchzahlen  wird  der Zähler genannt und  der Nenner. Beliebige zwei Bruchzahlen können so umgewandelt werden, dass sie denselben Nenner haben, indem man den Zähler und Nenner jeder Bruchzahl  mit dem Nenner der anderen Bruchzahl multipliziert:
 kann geschrieben werden als  .
Auf diese Art können wir die größere Zahl als die Bruchzahl mit dem größten Zähler definieren, wenn wir alle Bruchzahlen durch Multiplikation so umwandeln, dass sie den gleichen Nenner haben. Vergleichen wir z.B.  und  :

Da 15 kleiner ist als 28, ergibt sich, dass  größer ist als .

Grundlegende Berechnungen

Der Zahlenraum aller Bruchzahlen wird als  bezeichnet und enthält alle Integerzahlen sowie alle Resultate, welche durch Division zweier beliebiger Integerzahlen erhältlich sind.
Die Addition in diesem Zahlenraum definieren wir wie folgt:

Zum Beispiel:

Ebenso wird die Subtraktion in analoger Weise beschrieben:

Multiplikationen folgen dem nachstehenden Muster:

so wie im folgenden Beispiel

Für die Division gilt eine etwas unterschiedliche Form; hier wird die erste Bruchzahl mit dem reziproken Wert (dem Kehrwert) der zweiten Bruchzahl multipliziert:

Das folgende Beispiel zeigt dies:

Dezimale Darstellung

Wir haben schon gesehen, dass es für jede rationale Zahl mehrere Darstellungs- formen gibt. Jedoch gibt es eine Darstellungsform, die allen rationalen Zahlen gemeinsam ist. Wir haben die rationalen Zahlen als das Resultat von Divisionen mit Restwert kennengelernt, die nicht abgeschlossen werden können. Sehen Sie, was geschieht, wenn wir die Division nach Erreichen des Restwerts fortsetzen:

Nach Erhalt des Restwerts 3, der kleiner ist als 15, fügen wir eine Null an den Restwert an und setzen die Division durch 15 erneut fort, wobei dem Resultat einmalig ein Komma vorangestellt wird.
Wir erhalten  , welches eine Bruchzahl zwischen 8 and 9 ist. 8,2 ist die dezimale Repräsentation dieser rationalen Zahl. Der Zahlenteil rechts neben dem Komma zeigt den Anteil des Divisors im Restwert. Dies kann auch graphisch dargestellt werden. Wenn wir 1 durch 2 dividieren, so erhalten wir 0,5, was die Hälfte von eins ist; ebenso zeigt sich bei einer Division von 1 durch 4, die 0,25 ergibt, dass dies ein Viertel einer Geraden mit der Länge 1 ist.

0,25                 0,5                   0,75                    1
 

Wir können Additionen mit rationalen Zahlen in dezimaler Repräsentation genauso durchführen wie eine Addition von Integerzahlen, mit der Ausnahme, dass zuvor die Zahlen am Komma ausgerichtet werden müssen und rechts fehlende Stellen mit Null zu ergänzen sind. Im folgenden Beispiel addieren wir 12,35 und 1,6:

Dieselben Regeln gelten für die Subtraktion.
Multiplikationen machen wir zunächst ohne die Berücksichtigung der Kommas und positionieren das Komma im Ergebnis dann so, dass die Anzahl der Ausgangskommastellen (der Anzahl Ziffern nach dem Komma) addiert werden und das Resultat damit so viele Kommastellen erhält, wie die Ausgangszahlen insgesamt hatten. 
Bei der Multiplikation von 12,35 und 1,6 sind das also 2 Kommastellen bei 12,35 und eine Kommastelle bei 1,6, das sind zusammen drei Kommastellen und daher hat das Resultat 3 Kommastellen.

Wir multiplizieren die natürlichen Zahlen 1235 und 16 und erhalten 19760. Das endgültige Resultat ist nach Setzen von drei Kommastellen 19,760 (oder auch 19,76, weil rechtsstehende Nullen bei Dezimalzahlen keinen Unterschied machen).

Für die Division erweitern wir die Ziffern nach rechts wie bei der Addition und eliminieren die Kommas.

Prozente

Eine spezielle Form der Bruchzahlen sind die Prozentzahlen, welche dazu dienen, darzustellen, welchen Anteil ein Teil an einem Gesamten hat. Nehmen wir an, wir wüssten gern, wie viel 18 von einer Gesamtzahl von 90 ist. Um dies herauszufinden, dividieren wir 18 durch 90, wobei wir 18/90=0,2 erhalten – was dasselbe ist wir  oder  oder   oder 20 von 100 oder 20 Prozent.
Die übliche Schreibweise ist 20%. Das Wort „Prozent“ bzw. dessen Zeichen „%“ lässt sich auch als „pro Hundert“ denken. 33% sind 33 von 100.
Wir können auch bestimmen, wie viel p% einer Zahl ist:
120% von 35 ist