Integer-Zahlen: Zahlenräume und das Gefühl für Zahlen

 

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Zielsetzung

Nach Fertigstellung dieser Lerneinheit sollten Sie:

• die Verwendung natürlicher Zahlen verstehen
• das Konzept negativer Ganzzahlen verstehen
• grundlegende Operationen mit natürlichen und Integer-Zahlen verstehen und durchführen können
• Integer-Zahlen nennen und deren Ordnungsrelation zueinander verstehen können.

 

Einleitung und Grundrechnungsarten

Die natürlichen Zahlen hatten ihren Ursprung in den Worten, die man zum Zählen benutzte, beginnend mit eins, also der Zahl 1. Ein viel späterer Abstrahierungsschritt war die Entwicklung der Null als eigene Zahl.

Die Gesamtheit der natürlichen Zahlen werden formelhaft als  bezeichnet. Es sind dies also alle natürliche Zahlen:

Die grundlegenden Rechenoperation in diesem Zahlenraum ist die Addition, gekennzeichnet durch „+“ Symbol “+”. Außer der ersten natürlichen Zahl Null können alle natürlichen Zahlen durch Addition von 1 zur vorhergehenden Zahl gewonnen werden.

Einige Beispiele von Additionen:

Das Addieren von zwei Zahlen ist praktisch gesehen das Zusammenzählen von zwei Objektgruppen. Die Regeln der Addition beruhen auf dem Zusammenzählen innerhalb der ersten 10 natürlichen Zahlen (auch als Ziffern bekannt).

Jede Addition von Zahlen größer als basiert auf Berechnungen zwischen diesen zehn Ziffern. Hier z.B. die Berechnung von 18+23

1	8	+
2	3
1+2+1=4	8+3=11
4	1

Die rote Ziffer wird von der mittleren Spalte aus „nach links transportiert“ und dort dazugezählt.

Die zweite grundlegende Operation im natürlichen Zahlenraum ist die Subtraktion welche das Gegenstück zur Addition darstellt: Eine Anzahl Objekte wegnehmen, und den verbleibenden Rest darstellen. Bei natürlichen Zahlen muss die Anzahl der abgezogenen Objekte immer kleiner oder der Ausgangsanzahl sein.

Lasst uns ein Beispiel ansehen:

Wenn wir das Resultat zu der abgezogenen Zahl addieren, so ergibt sich wieder die ursprüngliche Zahl:

Das ist die übliche Methode eine Subtraktion auf Richtigkeit zu überprüfen.

Wenn wir Zahlen abziehen wollen, welche keine Einzelziffern sind, so gilt eine ähnliche Regel wie bei der Addition.  Anstatt eine Ziffer nach links zu „transportieren, nehmen wir eine weg, falls die abgezogene Zahl größer als jene ist, von welcher wir sie abziehen wollen.

Lasst uns die nachstehenden Beispiele betrachten:
Das erste Beispiel ist sehr einfach, alle Zahlen können einfach voneinander abgezogen werden:

5	3	-
2	1
5-2=3	3-1=2
3	2

Das Zweite sieht etwas anders aus und ist ein guter Fall für die oben beschriebene Regel:

5	1	-
2	8
(5-1)-2=2	11-8=3
2	3

Da wir in der ersten Spalte von 5 eins wegnehmen, verbleibt die Subtraktion 4-2=2.

Als nächstes machen wir nun den Schritt zu einer weiteren Rechenoperation zwischen natürlichen Zahlen, das ist die Multiplikation.
Die Multiplikation wird durch das Zeichen “×” oder “∙” gekennzeichnet. Multiplikation bedeutet das oftmals wiederholte Addieren derselben Zahl. Anstatt beispielsweise zu schreiben

können wir auch notieren

das bedeutet fünf mal vier, und das Ergebnis ist zwanzig.
Bei der Multiplikation von Zahlen mit mehr als einer Ziffer gelten wieder die Regeln der Addition: Nur die letzte Zahl wird notiert, der „Rest“ wird nach links „transportiert“ und zum Ergebnis der Multiplikation addiert.
Jede Ziffer wird mit den Ziffern darunter multipliziert. Es wird rechts begonnen
Hier ist ein Beispiel, wo die zweite Zahl nur eine Ziffer hat:

1	3	×
	7
1×7+2=9	3×7=21
9	1

Wenn die zweite Zahl zwei Ziffern hat, werden dieselben Berechnungen wiederholt and das Resultat wird um eine Stelle nach links verschoben, wie in dem nachstehenden Beispiel dargestellt:

	1	3	×
	2	7
	1×7+2=9	3×7=21
1×2=2	3×2=6
2+1=3	9+6=15	1

 

Es ist festzuhalten, dass jede Zahl multipliziert mit Null, Null ergibt, und dass jede Zahl, welche mit eins multipliziert wird, die Ausgangszahl selbst ergibt. Eine Zahl mit 10 zu multiplizieren, fügt eine Null an die Ausgangszahl an.

 

 

Die komplette Multiplikationstabelle für die Zahlen von 1 bis 10 sieht wie folgt aus:

 

So wie bei der Addition gibt es auch für die Multiplikation ein Gegenstück; das ist die Division. Sie wird mit den Zeichen “÷” oder “:” gekennzeichnet. Die Beziehung zwischen den beiden Operationen wird im folgenden Satz sichtbar:

Wenn 3×5=15, dann ist 15:5=3.
Wenn wir also eine Zahl mit 5 multiplizieren und das Resultat anschließend wieder durch 5 teilen, so erhalten wir wieder die Zahl, mit der wir begonnen haben. Die folgenden Beispiele zeigen, wie man Zahlen dividieren kann, welche mehr als eine Ziffer haben:

3	5	1	÷	3
3=3×1				1	1	7
=	5	-
	3=3×1
	2	1	-
	2	1	=3×7
	=	=

 

Die REIHENFOLGE der BERECHNUNGEN
Angenommen, wir würden einen etwas komplexeren Ausdruck berechnen wollen, z.B. den folgenden

dann müssen wir Regeln definieren, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilrechungen durchzuführen sind. Die natürliche Reihenfolge ist, zuerst die Multiplikationen und Divisionen zu berechnen und anschließend die Additionen und Subtraktionen. Daher gehört der obige Ausdruck berechnet wie:

Um Berechnungen auf unterschiedliche Art gruppieren zu können, werden Klammern () verwendet. Dabei wird zuerst der Klammerinhalt berechnet, danach die Elemente außerhalb der Klammern:

Klammern können verschachtelt werden, dabei werden immer die innersten Klammerinhalte zuerst berechnet, dann die Klammerinhalte außerhalb der innersten Klammern und so weiter:

Bei der Arbeit mit Klammern gibt es einige grundlegende Regeln, die uns erlauben, den Klammerinhalt während der Berechnung nach und nach zu eliminieren:

Dabei gelten generell die folgenden Regeln, wobei  natürliche Zahlen sind:

 

Darstellung natürlicher Zahlen

Im Folgenden zeigen wir, wie natürliche Zahlen auf einer geraden Linie dargestellt werden können:

0    1    2    3    4    5    6    7                           a     a+1

Wir beginnen mit der Ziffer Null, dann wählen wir einen Abschnitt als Maßeinheit und markieren die nächste natürliche Zahl, das ist 1. Alle folgenden Zahlen werden durch Markierung eines gleich großen weiteren Abstands eingetragen. Da es immer eine natürliche Zahl gibt, welche um eins größer ist, als die vorhergehende, ist die Linie nach rechts unendlich lang.
Die Beziehung zwischen zwei natürlichen Zahlen kann durch ihren Abstand zueinander definiert werden.
Wenn eine Zahl links von einer anderen Zahl liegt, bedeutet es, sie ist kleiner. Wenn sie rechts positioniert ist, so ist sie größer.
Z.B. 5 ist größer als 3, dies lässt sich auch schreiben als

Ebenso können wir darstellen, dass 1 kleiner ist, als 7

Ein anderer Weg, die Beziehung zwischen zwei Zahlen zu beschreiben ist wie folgt: Die natürliche Zahl a ist kleiner als die natürliche Zahl b, wenn eine natürliche Zahl c existiert, welche wie folgt beschrieben wird:

Es muss also etwas zu a addiert werden, um b zu erreichen.

 

Vorzeichen und Ganzzahlige Werte

Bei der Subtraktion musste bis jetzt die Ausgangszahl immer größer sein als jene, die wir abgezogen haben. Wenn Addieren bedeutet, sich auf dem Zahlenstrahl nach rechts zu bewegen, dann bedeutet Subtrahieren, sich dort entsprechend nach links zu bewegen. Wenn die abgezogene Zahl kleiner ist, als die Ausgangszahl, so erhalten wir als Ergebnis wieder eine natürliche.
Was wäre aber, wenn wir auf dem Zahlenstrahl weiter nach links kämen? Natürlich können wir den Zahlenstrahl links von 0 verlängern,  aber dort gibt es keine natürlichen Zahlen mehr. Wir müssen also einen weiteren Zahlenraum definieren. Diese Zahlen sind den natürlichen Zahlen ähnlich, sie haben nur ein negatives Vorzeichen. So ergibt sich -1 durch eine Bewegung auf dem Zahlenstrahl von 0 um eine Einheit nach links, und so fort:

  

                                  -4   -3   -2   -1    0    1    2   3

Die zugrundeliegende Rechenoperation schreiben wir

In ähnlicher Weise ergibt sich

So können wir die Subtraktion zwischen zwei natürlichen Zahlen definieren als Subtraktion zwischen zwei Zahlen,  wobei das Ergebnis das Vorzeichen der größeren Zahl erhält; zum Beispiel:

(17 ist größer als 15 und hat ein Minuszeichen).
Gemäß dieser Regeln für natürliche Zahlen können dieselben Regeln unter Berücksichtigung der folgenden Regeln für die Vorzeichen auch für Zahlen mit Vorzeichen definiert werden:

allgemein also:

für jede beliebige Zahl a.
Für die Multiplikation muß die folgende Tabelle für Berechnungen mit Vorzeichen verwendet werden:

Dieselben Regeln gelten bei der Division zweier Zahlen mit Vorzeichen. Nun, da wir diese definiert haben, können wir sie mit den natürlichen Zahlen in einem Zahlenraum zusammenfassen, in welchem alle Rechenoperationen ausgeführt werden können. Dieser Zahlenraum nennt sich die Integerzahlen. Für die Integerzahlen gilt das Symbol  wobei

Die Beziehungen zwischen Integerzahlen sind ähnlich zu den Beziehungen zwischen den natürlichen Zahlen.
Kleinere Zahlen werden auf dem Zahlenstrahl weiter links positioniert als größere Zahlen. Negative Zahlen (Zahlen mit negativem Vorzeichen) gelten als kleiner als beliebige Zahlen mit positivem oder ohne Vorzeichen (inklusive der Null).

Für zwei Integerzahlen mit negativem Vorzeichen gilt: eine Zahl ist kleiner als die Zahl  wenn die erste Zahl ohne das Vorzeichen,  größer ist, als die zweite Zahl ohne .
Lassen Sie uns weiters festhalten, dass wir bei Addition einer Integerzahl mit derselben Zahl gegenteiligen Vorzeichens jedenfalls als Ergebnis eine Null erhalten: