Reelle Zahlen

 

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Zielsetzung

Nach Absolvieren dieser Lehreinheit sollten Sie folgendes können:

• Grundlegende Rechenoperationen mit Fließkommazahlen durchführen
• Reelle Zahlen und Beziehungen zwischen solchen finden und darstellenऀ
• Einfache lineare Gleichungen lösenऀ
• Anwendungsfälle im Bereich reeller Zahlen lösen

 

Einführung und Darstellung

Erinnern wir uns daran, dass alle bisher definierten Zahlen, namentlich die Integerzahlen und die Bruchzahlen, auf einer Linie als Punkte repräsentiert werden können. Aber nicht alle Punkte auf dieser Linie können als Bruchzahlen dargestellt werden. Diese Zahlen zusammengenommen mit den Bruchzahlen, machen den Raum der reellen Zahlen aus, sie werden mit R gekennzeichnet. Jede reelle Zahl, die nicht als Bruchzahl dargestellt werden kann, kann auch als Bruchzahl mit einer unendlichen Anzahl an Kommastellen gedacht werden.
Eine dieser Zahlen die Quadratwurzel von 2, welche mit sich selbst multipliziert, die Zahl 2 ergibt. Mehr über Wurzeln erfahren Sie etwas später.

1,414213562 ist eine reelle Zahl, welche mit sich selbst multipliziert, die Ziffer 2 ergibt.

Alle Rechenoperationen, wie die Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division können auf alle reellen Zahlen ausgedehnt werden.  Für die reellen Zahlen gelten dieselben Eigenschaften. In der Praxis werden wir fast nie mit Zahlen arbeiten, die nicht letztlich Bruchzahlen sind, da Nicht-Bruchzahlen eine unendliche Anzahl von Kommastellen haben können, von denen wir nur einen Teil betrachten bzw. bearbeiten können..

Fassen wir die Eigenschaften der vier Berechnungen zusammen:

(wir benutzen hier die Notation “∙” statt “×” für die Multiplikation)

In einer vorangegangenen Lehreinheit stießen wir auf folgende Berechnungen:

Anstatt mehrere gleiche Multiplikationen hintereinander zu schreiben, läßt sich diese Aufgabe auch mit einer Notation als Potenz (oder Hochzahl) beschreiben. So könnte etwa das Resultat als  as  ("3 hoch 4"), was bedeutet, dass 3 viermal mit sich selbst zu multiplizieren ist. Das Resultat ist dann 81.
Allgemein formuliert

Diese Notation wird “a hoch n” gesprochen. Für Integerzahlen sind die Berechnungen einfach, aber bezüglich Bruchzahlen gibt es einige zusätzliche Regeln, so wie z.B:

Die wichtigsten vorkommenden Fälle haben einen Exponenten von 2 oder 3. Die Zahl x∙x=x2 wird als “x zum Quadrat” gelesen. Es lässt sich beobachten, dass das Quadrat jeder natürlichen Zahl wiederum eine natürliche Zahl ist, so wie dies für alle rationalen Zahlen gilt. Gilt dies auch umgekehrt? Ja; auch das ist möglich: für die natürliche Zahl 4 gibt es die natürliche Zahl 2, welche zum Quadrat erhoben wiederum die natürliche Zahl 4 ergibt:

Gleiches gilt für 9 und 3, 16 und 4, und so weiter.  Wir nennen solche Ausdrücke “die Quadratwurzel von”, z.B. ist die Quadratwurzel von 9 die Zahl 3 und die Quadratwurzel 16 ist 4. Wir schreiben dies auch

Generell haben wir

für jede x größer als 0.

Hier sind einige ergänzende nützliche Formeln für die Arbeit mit reellen

Zahlen:

Lineare Gleichungen

Nehmen wir an, wir stünden vor folgendem Problem: Wir fahren von der Stadt A in die Stadt B, mit einer Geschwindigkeit von 60km/, und die Distanz zwischen den beiden Städten ist 30km. Wie lange wird der Weg von A nach B dauern?

Wir lösen dies, indem wir zunächst notieren wobei t die benötigte Zeit ist. Wir wissen, dass wir durch Multiplizieren der Geschwindigkeit mit der Zeit die Distanz erhalten, daher ersetzten wir die Geschwindigkeit durch 60 und die Entfernung durch 30. Um den Wert t zu erhalten, müssen wir beiden Seiten der Gleichung durch 60 dividieren. Wir erhalten

Obtenemos:

Weiters erhalten wir

das ergibt t was der Hälfte einer Stunde entspricht.
Allgemein formuliert beschäftigen wir uns hierbei mit einer Gleichung in der folgenden Form:

Generell sind die Schritte zur Lösung der obigen Gleichung, wenn a bekannt sind, die folgenden:

Eine weitere allgemeine Form für eine Gleichung ist diese

wie die eine, die wir in obigem Beispiel gelöst haben.

Lassen Sie uns eine weitere Aufgabe lösen:

Ein weiteres Anwendungsbeispiel ist das Folgende:
Lassen Sie uns annehmen, jemand hat 2500 Euro auf einem Bankkonto und die Zinsvereinbarung ist unbekannt. Nach Ablauf eines Jahres befinden sich 2650 Euro auf dem Konto. Wir möchten die Zinsrate wissen, in der Annahme, dass das Guthaben über ein Jahr unverändert blieb.

Das ergibt die folgende Gleichung:

Wenn wir 2500 auf die rechte Seite der Gleichung verschieben erhalten wir

demzufolge

Daher ist die Zinshöhe 6% pro Jahr.

Anwendungen

Lassen Sie uns nun folgende Aufgabe betrachten: John und Jane sind Geschwister. Vor zehn Jahren war John zweimal so alt wie Jane und in fünf Jahren wird er 5 Jahre älter sein als sie. Wie alt sind die beiden heute?  Um diese Aufgabe zu lösen notieren wir x und y das Alter von John und Jane. Wir haben

Wir werden an der zweiten Gleichung arbeiten um x als einen Ausdruck y zu erhalten. Wir bekommen

Wir nutzen diesen Audruck für x und ersetzen ihn in der ersten Gleichung wie folgt:

Danach bewegen wir alle Ausdrücke, welche y enthalten, nach rechts, sowie den rest nach links:

Ya que  y  por tanto .

Recordemos el problema que teníamos anteriormente, con el depósito inicial de 2.500 y un interés desconocido. Supongamos que sólo sabemos que la suma de dinero pasados 2 años es de 2.809. En este caso, tenemos

Podemos hacer la raíz cuadrada de ambas partes y obtener

y .