Realieji skaičiai

 

	This Project has been funded with support from the European Commission.  This communication reflects the views only of the author, and the Commission can not be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

TIKSLAI

Perskaitę šį skyrių sugebėsite:

• Atlikti pagrindinius veiksmus su slankiojo kablelio skaičiais
• Pavaizduoti ir nustatyti ryšį tarp realiųjų
• Išspręsti paprastas tiesines lygtis     
• Išspręsti kitus uždavinius

 

ĮVADAS ir REPREZENTACIJA

Prisiminkime, kad jau išmokti sveikieji ir trupmeniniai skaičiai gali būti pavaizduoti skaičių aibėje taškais. Tačiau ne visi taškai gali simbolizuoti trupmeninius skaičius.  Šie skaičiai kartu su trupmeniniais skaičiais yra vadinami realiaisiais ir jie žymimi ženklu . Bet kuris realusis skaičius, kuris negali būti pavaizduotas trupmena, turi nesibaigiančią liekaną po kablelio.
Vienas iš tokių skaičių yra „skaičius, kurį padauginus iš savęs, gaunamas 2“, dar kitaip vadinama kvadratinė šaknis iš 2, bet apie kvadratines šaknis pakalbėsime šiek tiek vėliau.
 yra realusis skaičius, kurį padauginus iš tokio paties skaičiaus gauname 2.
Visi veiksmai, tokie kaip sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba gali būti ištęsti iki visų realiųjų skaičių, nes tokios pačios ypatybės ir veiksmai yra taikomi ir su šiais skaičiais. Praktikoje beveik visada susiduriame su trupmeniniais skaičiais, kadangi kai kurie realieji skaičiai turi nesibaigiančią liekną, atliekant skaičiavimus, panaudosime tik dalį skaičių po kablelio.
Apibendrinkime pagrindinių 4 veiksmų savybes:


(naudojame ženklą “” vietoje “” atliekant daugybos veiksmus)




Ankstesnėse pamokose susidūrėme su tokiais veiksmais:

Geresnis būdas užrašyti pakartotinus daugybos veiksmus yra vadinamas laipsnio pakėlimu. Pavyzdžiui,  galime užrašyti kaip  tai reiškia, kad skaičius 3 yra sudauginamas keturis kartus. Gautoji suma yra 81.
Bendrinė formulė

Skaičiavimo rezultatą skaitome: “ skaičius  yra pakeltas -tuoju laipsniu”. Su sveikaisiais skaičiais tokius veiksmus atlikti yra ganėtinai lengva, tačiau naudojant trupmeninius skaičius yra taikomos papildomos taisyklės:

Dažniausiai naudojami - antrasis ir trečiasis laipsniai. Skaičius  yra vadinamas “ kvadratu”. Bet kokį sveikąjį skaičių pakėlę kvadratu gausime kitą sveikąjį skaičių, lygiai tas pats atsitinka ir su realiaisiais skaičiais. Bet ar įmanoma surasti atvirkštinį atitikmenį tarp skaičiaus ir to skaičiaus kvadrato? Pavyzdžiui, jeigu turime skaičių 4, žinome, kad 2 pakėlus kvadratu gausime 4:

Taip pat yra su skaičiumi 9 ir 3, 16 ir 4, ir t.t. Apibrėšime šį skaičių kaip „kvadratinė šaknis iš“, taigi kvadratinė šaknis iš 9 yra 3, o kvadratinė šaknis iš 16 yra 4.  Tai užrašome:

Bendras užrašymas:

kai  didesnis už 0.

Pateikiame keletą papildomų formulių, kurios naudojamos atliekant veiksmus su realiaisiais skaičiais:

TIESINĖS LYGTIS

Turime tokį uždavinį: judame iš miesto A į miestą B, mūsų greitis yra 60km per valandą, atstumas tarp miestų yra 30km. Kiek laiko užtruks kelionė?
Pirmiausia užrašome taip:

kur yra laikas. Žinome, kad greitį padauginus iš laiko, gausime atstumą, taigi įrašome turimus duomenis, vietoje greičio 60 ir vietoje atstumo 30. Tam, kad gautume dydį   turime iš 60 padalinti abi lygybės dalis, dar vadinamomis lygtimis. 

Gauname

Taigi  lygu pusei valandos.
Bendrinis lygčių sprendimo būdas yra toks:

Pagrindiniai veiksmai, norint išspręsti lygti, kai žinome skaičius  yra tokie:




Kita lygties formulė yra tokia

Taip kaip išsprendėme pirmą lygtį, pabandykime išspręsti ir šią:




Kitas uždavinys yra toks: tarkime, kad asmuo turi sąskaita banke lygią 2500 Lt ir palūkanų dydis yra nežinomas. Po vienerių metų, sąskaitoje jau yra 2650 Lt. Norime sužinoti kokio dydžio yra palūkanos, turint omenyje, kad per visus metus jos išliko nepakitusios.  Turime tokią lygtį:
Skaičių 2500 perkeliame į dešinę pusę to

taigi


Gauname, kad palūkanų dydis yra 6% per metus.

PRITAIKYMAS PRAKTIKOJE

Išspręskime toki uždavinį: Jonas ir Džeinė yra brolis ir sesuo. Prieš dešimt metų Jonas buvo vyresnis už Džeinę dvigubai, o po penkių metų jis bus vyresnis už ją 5 metais. Kiek jiems dabar metų? Tam, kad išspręstume šį uždavinį atitinkamai pažymėkime  ir  Jono ir Džeinės metus. Turime


Išskaidome antrą lygtį, kad gautume :

Šį reiškinį panaudojame vietoje  ir įstatome į pirmąją lygtį

Visus skaičius esančius prie perkeliame į dešinę, likusius į kairę


Kadangi  ir  gauname, kad .

Prisiminkime anksčiau turėtą uždavinį, su 2500 Lt sąskaita banke ir nežinomomis palūkanomis. Sakykime, kad žinome tik sąskaitos dydį po dviejų metų, t.y. 2809 Lt. Šiuo atveju turime



Dabar galime ištraukti kvadratinę šaknį iš abiejų narių ir gausime

ir .