Numere reale

 

	This Project has been funded with support from the European Commission.  This communication reflects the views only of the author, and the Commission can not be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

OBIECTIVE

La finalizarea acestei unităţi veţi fi capabil să:

• Efectuaţi operaţii de bază cu numere în virgulă mobilă
• Reprezentaţi şi să găsiţi relaţii între numerele reale
• Rezolvaţi ecuaţii liniare simple         
• Rezolvaţi alte aplicaţii

 

INTRODUCERE şi REPREZENTARE

Să ne amintim că toate numerele definite până acum, şi anume numerele întregi şi numerele fracţionare pot fi reprezentate pe o axă sub formă de puncte. Dar nu toate punctele de pe o linie pot fi reprezentate prin numere fracţionare. Aceste numere, împreună cu numerele fracţionare, poartă numele de numere reale, iar mulţimea lor este notată cu . Orice număr real care nu poate fi reprezentat ca un număr fracţionar poate fi privit ca un număr fracţionar cu un număr nelimitat de zecimale la dreapta virgulei.
Un astfel de număr este “numărul care, înmulţit cu el însuşi, este egal cu 2”, numit şi rădăcina pătrată din 2, dar acest aspect va fi discutat mai târziu.

 este un număr real care, înmulţit cu el înşusi este egal cu 2

Toate operaţiile, cum ar fi adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea pot fi extinse la numerele reale. Aceleaşi proprietăţi şi ordinea operaţiilor sunt valabile pentru numerele reale. În practică, aproape niciodată nu vom lucra cu numere care nu sunt fracţionare, din vreme ce numerele reale care nu sunt fracţionare au un număr infinit de zecimale şi astfel nu putem lucra cu toate cifrele, aşa că vom folosi numai unele dintre ele.

Vom prezenta pe scurt proprietăţile celor patru operaţii:

(s-a folosit notaţia “” în loc de “” pentru înmulţire)

Într-o lecţie anterioară am întâlnit următoarele operaţii:

O metodă mai bună de a scrie înmulţirile repetate ale unui număr cu el însuşi este folosirea notaţiei putere. De exemplu, rezultatul calculului  poate fi scris ca , cu semnificaţia că 3 este înmulţit cu el însuşi de 4 ori.
Rezultatul este 81.
În cazul general

And the result is read as “ to the th”. For integer numbers the calculations are easy, but for fractional numbers there are some additional rules, such as:

The most important cases are when the power is two or three. The number  is read as “ squared”. One observation is that the square of any natural number is still a natural number, as is the case for all rational numbers. But can we find an inverse correspondence, between a number and the number who’s square it is? For instance, for 4, the number that equals 4 when squared is 2:

Same is true for 9 and 3, 16 and 4, and so on.  We will denote such a number by “ the square root of”, therefore the square root of 9 is 3, and the square root of 16 is 4. We also write

In general we have

for any  greater than 0.

Here are some additional useful formulae for working with real numbers:

LINEAR EQUATIONS

Let us assume that we have the following problem: we are moving from the city A to the city B, at a speed of 60km per hour, and the distance between the two cities is 30km. How long will it take to get there?

We solve this by writing first of all

where  is the necessary time. We know that multiplying the speed with the time we get the distance, so we replaced the speed with 60 and the distance with 30. In order to obtain the value of  we must divide by 60 on both parts of the equality above, also called equation. We get

Further we get

That is  is a half of an hour.

In general, we are dealing with equations of the following form

The general steps for solving the above equation, when  are known are the following:

Another form for an equation is

as the one we solved in the example above.
Let us solve another example

Another example of application is the following: let’s assume a person has a bank account amounting 2500 RON and the interest rate is unknown. After one year the account holds 2650 RON. We want to find the interest rate, assuming it has stayed the same over the year. We have the following equation

We have, after moving 2500 to the right side

therefore

So the interest rate is 6% per year.

APPLICATIONS

Let’s take a look at the following problem: John and Jane are brothers. Ten years ago, John had twice of Jane’s age, and in five years he will be 5 years older than her. How old are they now? In order to solve this problem we denote by  and  the age of John and Jane, respectively. We have

We shall work on the second equation, in order to obtain  as an expression containing. We get

We use this expression for  and substitute it in the first equation

And then we move all the terms containing  to the right, and the rest to the left

Since  and  as we have seen before, we get .

Let us recall the problem we had earlier, with the initial deposit of 2500 and unknown interest rate. Let’s suppose that we only know the sum of money after 2 years, and it is 2809. In this case we have

Now we can take the square root of both members and obtain

and .