Numere fracţionare: Operaţii de bază cu numere fracţionare

 

	This Project has been funded with support from the European Commission.  This communication reflects the views only of the author, and the Commission can not be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

 

OBIECTIVE

La finalizarea acestei unităţi veţi fi capabil să:

• Reprezentaţi şi stabiliţi relaţii între numerele fracţionare
• Efectuaţi operaţii cu numere raţionale
• Evaluaţi procente şi raporturi
• Aplicaţi numerele fracţionare în domenii din viaţa reală

 

INTRODUCERE şi REPREZENTARE

Sa ne amintim că, până acum, am definit mulţimea numerelor întregi ca fiind

Pentru aceste numere am definit operaţii cum ar fi adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea. Dintre aceste patru operaţii, împărţirea este singura care nu poate fi efectuată între orice numere întregi.
La împărţirea numerelor întregi ajungem într-o situaţie în care deîmpărţitul nu este divizibil cu împărţitorul, iar algoritmul de împărţire va genera un rest.

De exemplu, dacă încercăm să împărţim 16 la 5 obţinem 3 şi un rest 1. Astfel, avem reprezentarea

sau, în cazul general
deîmpărţit = împărţitor x cât + rest
Să ne imaginăm acum că avem un segment de lungime 15 şi îl împărţim în 3. Pentru că 15 se împarte exact la 3, obţinem trei segmente de lungime 5. Dar ce se întâmplă dacă împărţim un segment de 16 cm în 3 porţiuni egale ca lungime? Evident, acest lucru poate fi realizat fizic, dar ce lungime vor avea segmentele? Definim lungimea respectivă folosind notaţia:

În cazul general, pentru oricare două numere întregi, definim

unde q este diferit de 0. Aceste numere, care nu sunt întregi, sunt fracţii ale unor întregi, sau numere fracţionare şi sunt poziţionate pe axă printre numerele întregi, ca în figura de mai jos:

      -3       -2      -1       0       1        2        3

Să observăm  se află între  and .
Se observă de asemenea că numărul întreg 2 poate fi reprezentat ca un număr fracţionar în mai multe moduri::  şi acest lucru se aplică oricărui număr fracţionar.

În cazul general

pentru oricare  întregi.

Pentru oricare număr fracţionar  ,   se numeşte numărător şi  se numeşte numitor. Oricare două fracţii pot fi aduse la acelaşi numitor, înmulţind numărătorul şi numitorul fiecărei fracţii cu numitorul celeilalte fracţii:

 pot fi scrise ca fiind .

În acest mod putem defini numărul mai mare ca fiind fracţia cu cel mai mare numărător când scriem fracţiile cu numitor comun. De exemplu, să comparăm numerele  and  :

Pentru că 15 este mai mic decât 28obţinem că  este mai mare decât .

OPERAŢII DE BAZĂ

Mulţimea numerelor raţionale se notează cu  şi conţine toate numerele întregi şi toate fracţiile obţinute prin împărţirea oricăror două numere întregi. Definim adunarea pe această mulţime în modul următor:

De exemplu

Scăderea este definită într-un mod asemănător

Înmulţirile urmează modelul de mai jos

ca în exemplul următor

Împărţirile au o formă puţin diferită, deoarece se înlocuiesc cu înmulţirea primei fracţii cu inversa celei de-a doua:

Exemplul de mai jos ilustrează că:

 

REPREZENTARE ZECIMALĂ

Am observat anterior că orice număr raţional poate fi reprezentat în mai mult de o formă. Totuşi, există o formă unică pentru fiecare număr raţional. Numerele raţionale au fost introduce ca fiind rezultatul împărţirilor care nu pot fi efectuate exact, din cauza restului. În cele ce urmează vom vedea ce se întâmplă dacă vom continua împărţirea după ce obţinem restul:

După ce obţinem 3, care este mai mic decât 15, adăugăm un zero la stânga şi continuăm împărţirea, următoarele cifre din rezultat fiind precedate de o virgulă.

Obţinem  , care este un număr fracţionar între 8 şi 9. Această reprezentare se numeşte reprezentarea zecimală a unui număr raţional. Numărul situat la dreapta virgulei reprezintă cât din împărţitor este restul împărţirii întregi. Ne putem imagina această parte zecimală ca o fracţiune dintr-un întreg. Dacă împărţim 1 la 2, obţinem 0,5, care reprezintă o jumătate din 1, operaţie ce corespunde împărţirii unui segment de lungime 1 în două părţi egale. Acelaşi lucru poate fi spus despre rezultatul împărţirii lui 1 la 4, care este 0,25, adică sfertul unui segment de lungime unu.

0,25                 0,5                   0,75                    1
 

Putem efectua adunări cu numere raţionale în reprezentare zecimală, ca şi cum am aduna numere întregi, cu excepţia că trebuie să aliniem virgulele corespunzătoare şi să completăm numărul mai scurt cu zerouri terminale, ca în exemplul următor, în care adunăm 12,35 la 1,6:

1	2	,	3	5
	1	,	6	0
1	3	,	9	5

Aceeaşi regulă se aplică şi pentru scădere. În cazul înmulţirii, aceasta se efectuează indiferent de virgulă, iar apoi poziţionăm virgula cu a+b poziţii la stânga, unde a este numărul cifrelor de după virgulă al primului număr, iar b este numărul cifrelor de după virgulă (al zecimalelor) al celui de-al doilea număr.
Pentru numerele de mai sus, 12,35 şi 1,6 observăm că primul are 2 zecimale, în vreme ce cel de-al doilea are numai una, astfel rezultatul va avea 3 zecimale, adică 3 cifre după virgulă.

 

 

Prin înmulţirea numerelor 1235 şi 16 obţinem 19760. Rezultatul final va fi 19,760 sau 19,76, deoarece zerourile din dreapta virgulei nu au efect asupra reprezentării zecimale a numărului fracţionar.
În cazul împărţirii, extindem cifrele la dreapta ca şi în cazul adunării şi eliminăm virgulele.

PROCENTE

Un caz particular de fracţii îl reprezintă procentele, care sunt utilizate pentru a reprezenta cât de mult contează o parte dintr-o unitate. De exemplu, vrem să ştim cât reprezintă o cantitate de 18 dintr-un total de 90. Pentru aceasta, împărţim 18 la 90 pentru a obţine

Notaţia obişnuită este 20%. Este evident că orice număr din 100 reprezintă acel număr % din 100: 33 reprezintă 33% din 100.

Calculele pot merge însă şi în sens invers, adică putem determina cât reprezintă p% dintr-un număr: 120% din 35 este