Trupmeniniai skaičiai: Pagrindiniai veiksmai su trupmeniniais skaičiais


	This Project has been funded with support from the European Commission. This communication reflects the views only of the author, and the Commission can not be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

TIKSLAI

Perskaitę šį skyrių sugebėsite:

Pateikti ir nustatyti ryšį tarp trupmeninių skaičių
Atlikti veiksmus su racionaliaisiais skaičiais
Apskaičiuoti procentus ir koeficientus
Pritaikyti racionaliuosius skaičius kasdienėse srityse

ĮVADAS ir REPREZENTACIJA

Prisiminkime, kad kol kas apibrėžėme sveikųjų skaičių seką
Šiems skaičiams pritaikėme sudėties, atimties, daugybos ir dalybos veiksmus. Iš visų šių veiksmų tik dalybos veiksmas ne visada užbaigtas tarp sveikųjų skaičių. Dalijant kartais pirmasis skaičius nepilnai pasidalija iš atrojo ir dalijimo algoritme mes gauname liekaną.
Pavyzdžiui, jeigu norime 16 padalinti iš 5, gauname 3 ir liekaną 1. Pavaizduojame taip

arba bendrai

dalijamas skaičius = daliklis x dalmuo + liekana

Įsivaizduokime, kad turime ilgio atkarpą lygią 15 ir ją dalijame iš trijų. Kadangi skaičius 15 gali būti lygiai padalintas iš trijų, mes gauname tris atkarpas po 5. Bet kas gi atsitinka, kai norime 16cm padalinti į tris lygias dalis? Neabejotinai mes galime tai padaryti, bet kas tuomet jeigu kalbame apie ilgio atkarpas? Tai apibrėžiame ženklų sistema:

Bendrinė sveikųjų skaičių formulė yra tokia

negali būti lygus 0. Tie skaičiai, kurie nėra sveikieji, yra trupmeniniai arba kitaip vadinami trupmenomis ir linijoje jie žymimi tarp sveikųjų skaičių:
- 3 - 2 -1 0 1 2 3

Atkreipkite dėmesį, kad

yra tarp

.
Taip pat pastebėkite, kad skaičius 2 gali būti pavaizduotas įvairiomis trupmenomis:

.
Bendra formulė

bet kuriems

sveikiesiems skaičiams.
Kiekvienoje trupmenoje

yra vadinamas skaitikliu ir

yra vadinamas vardikliu. Bet kurios dvi trupmenos gali būti užrašomos su bendru vardikliu, sudauginus kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį su kitos trupmenos vardikliu:

gali būti parašyta kaip .

Tokiu būdu galime apibrėžti, kad didesnė yra ta trupmena, kurios skaitiklis didesnis, jeigu vardikliai tokie patys. Pavyzdžiui, palyginkime ir :

Kadangi 15 yra mažiau negu 28, gauname, kad yra daugiau nei .

PAGRINDINIAI VEIKSMAI

Trupmeninių skaičių aibė žymima raide ir susideda iš visų sveikųjų skaičių bei trupmenų, kurios gaunamos padalijus du sveikuosius skaičius. Sudėtį pavaizduojame taip:

Pavyzdžiui

Atimtis pavaizduojama analogiškai

Daugybai taikomas toks modelis

Kitas pavyzdys

Dalybai taikomas kiek kitoks modelis, antroji trupmena yra apverčiama ir dalyba keičiasi į daugybą:

Pavyzdžiui:

DEŠIMTAINĖS TRUPMENOS PAVAIZDAVIMAS

Jau minėjome, kad kiekvienas racionalusis skaičius gali būti užrašytas keliais būdais. Vis dėl to, yra viena specifinė forma kiekvienam racionaliajam skaičiui. Mes pristatėme racionaliuosius skaičius kaip neužbaigtą dalybos rezultatą, nes gauname liekana. Jeigu dalybos veiksmą užbaigsime, tai atrodys taip:

    123        15
    120        8,2
     = 30
        30
=
Kai gauname 3, kuris yra mažesnis už 15, prirašome nulį ir tęsiame dalybos veiksmą, gaunamus vienaženklius skaičius rašome po kablelio.
Gauname, kad , tai yra trupmeninis skaičius tarp 8 ir 9. Toks yra dešimtainis racionalaus skaičiaus pavaizdavimas. Skaičiai po kablelio parodo kokia yra liekana dalijant sveikąjį skaičių. Galime pavaizduoti dešimtainę dali kaip vieneto trupmeną. Jeigu 1 padalijame iš 2, gauname 0,5, tai yra vieneto atkarpa padalijama į dvi lygias dalis. Taip pat būtų jei 1 padalintume iš 4 ir gautume 0,25, t.y. ketvirtadalį vieneto atkarpos.
                     0,25                 0,5                   0,75                    1

Sudėties veiksmus su racionaliaisiais skaičiais galima atlikti dešimtainėje sistemoje taip pat kaip ir su sveikaisiais skaičiais tik turime prirašyti atitinkamus kablelius ir prie trumpesnio skaičiaus prirašyti papildomą nulį taip kaip pavaizduota pavyzdyje, kur sudedame 12,35 ir 1,6:

1	2	,	3	5
	1	,	6	0
1	3	,	9	5

Ta pati taisyklė yra taikoma atliekant atimties veiksmus. Dauginant, nekreipiame dėmesio į kablelius, nes kablelio vieta rezultate lygi a+b pozicijai iš dešinės i kairę, t.y. a lygus pirmo dauginamojo skaičių kiekiui po kablelio, o b lygus antro dauginamojo skaičių kiekiui po kablelio.
Pavyzdžiui, skaičiuose apačioje, 12,35 ir 1,6 pastebime, kad pirmasis turi du skaičius po kablelio, o antrasis tik vieną, vadinasi rezultate po kablelio turėsime 3 skaičius.

	1	2	3	5
			1	6
	7	4	1	0
1	2	3	5
1	9	7	6	0

Sudauginus 1235 ir 16 gauname 19760. Galutinis rezultatas yra 19,760 arba 19,76, nes dešiniausi nuliai po kablelio dažniausiai nėra rašomi dešimtainėse trupmenose, nes jie nekeičia skaičiaus dydžio.
Atliekant dalybos veiksmus, pratęsiame vienaženklius į dešinę kaip sudėtyje ir atmetame kablelius.

PROCENTAI

Procentai yra tam tikras trupmenų pavyzdys, jie pavaizduoja atitinkamą vienetų dalį. Pavyzdžiui, norime sužinoti kokią dalį skaičius 18 sudaro iš skaičiaus 90. Tam, kad tai išsiaiškintume, padaliname 18 iš 90 ir gauname tai tas pats kas arba arba 20 iš 100 arba 20 procentų.
Įprastas užrašymas yra 20%. Akivaizdu, kad bet koks skaičius paimtas iš 100 nusako kiek tai yra procentų, 33 reiškia 33% iš 100.
Skaičiavimai gali būti atlikti ir kitaip, mes visada galime nustatyti kiek tiksliai procentų sudaro tam tikrą skaičių, pavyzdžiui: 120% iš 35 yra

Bendrinė formulė

Atvirkščiai, procentų nustatymas yra toks

Pritaikymas praktikoje

Išspręskime uždavinį su procentais. Įsivaizduokime, kad padedame į banką 8000 Lt su 6% palūkanų per metus. Koks bus mūsų sąskaitos dydis po metų? Koks bus po 3 metų?

Pažymėkime pradinę sumą ženklu S, pavyzdžiui