Numere întregi: Sisteme de numeraţie şi sensul numerelor

 

	This Project has been funded with support from the European Commission.  This communication reflects the views only of the author, and the Commission can not be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

 

OBIECTIVE

La finalizarea acestei unităţi veţi fi capabil să:

• Intelegeţi utilizarea numerelor naturale
• Intelegeţi conceptul de numere întregi negative
• Intelegeţi şi să efectuaţi operaţii de bază cu numere naturale şi întregi
• Reprezentaţi numerele întregi pe axă şi să înţelegeţi relaţiile de ordine dintre numerele întregi

 

INTRODUCERE şi OPERAŢII DE BAZĂ

Numerele întregi îşi au originea în cuvintele folosite pentru a număra obiecte, începând cu numărul 1. Mult mai târziu, a fost făcut un avans în abstractizare prin dezvoltarea ideii de zero ca fiind un număr cu propria sa cifră.

Mulţimea numerelor naturale se notează cu N şi conţine următoarele numere:

Operaţia de bază pe această mulţime de numere este adunarea, notată cu simbolul “+”. Fiecare număr natural poate fi obţinut din numărul natural precedent prin adunare cu 1, cu excepţia primului număr natural 0.

Câteva exemple de adunare:

Adunarea a două numere reprezintă de fapt numărarea a două seturi de obiecte. Regulile adunării sunt bazate pe adunări între primele 10 numere naturale, cunoscute şi sub numele de cifre.

Orice adunare între numere mai mari decât aceste zece numere se bazează pe operaţii intre cele zece cifre.

1	8	+
2	3
1+2+1=4	8+3=11
4	1

Cifra roşie reprezintă transportul şi este mutată la stânga şi utilizată în adunarea cifrelor de la stânga.

A doua operaţie de bază pe mulţimea numerelor naturale este scăderea, opusul adunării, ce constă în înlăturarea unui număr de obiecte şi numărarea obiectelor rămase. Pentru numerele naturale, numărul de obiecte înlaturate trebuie sa fie intotdeauna mai mic sau egal cu numărul iniţial de obiecte.
Să urmărim un exemplu:

După cum se observă, dacă adunăm rezultatul la scăzător, obţinem numărul iniţial:

iar aceasta este metoda uzuală de verificare în cazul scăderii. Dacă vrem să scădem numere care nu sunt cifre, se aplică o regulă similară cu cea de la adunare. Acum, în loc sa mutăm transportul la stânga, scădem unu dacă scăzătorul este mai mare decât descăzutul. Să aruncam o privire la exemplele următoare.

Primul exemplu este destul de simplu şi toate cifrele sunt scăzute cu uşurinţă.       Cel de-al doilea arată puţin diferit şi este un bun exemplu al regulii descrise mai sus.

5	3	-
2	1
5-2=3	3-1=2
3	2
5	1	-
2	8
(5-1)-2=2	11-8=3
2	3

Pentru că am scăzut o unitate din 5, scăderea la stânga este 4-2=2.

În continuare, vom face tranziţia la următoarea operaţie între numerele naturale, şi anume înmulţirea, notată cu “x” sau “∙”. Înmulţirea este adunarea repetată a aceluiaşi număr. De exemplu, în loc să scriem:

putem scrie

adică cinci înmulţit cu patru este egal cu douăzeci.
Când înmulţim numere cu mai mult de o cifră, se aplică aceleaşi reguli ca la adunare: se scrie doar ultima cifră, transportul se mută la stânga şi adăugat la rezultatul înmulţirii. Fiecare cifră este înmulţită cu cifrele de mai jos, de la stânga la dreapta. Iată un exemplu în care cel de-al doilea număr are doar o cifră:

1	3	×
	7
1×7+2=9	3×7=21
9	1

Dacă cel de-al doilea număr are două cifre, se repetă aceleaşi operaţii, iar rezultatul este mutat cu o poziţie la stânga, ca în exemplul de mai jos:

	1	3	×
	2	7
	1×7+2=9	3×7=21
1×2=2	3×2=6
2+1=3	9+6=15	1

Se notează faptul că orice număr înmulţit cu 0 face 0, iar orice număr înmulţit cu 1 este chiar numărul. Înmulţirea cu 10 adaugă un 0 la sfârşit.

Tabla inmulţirii completă pentru numere de la 1 la 10 este prezentată mai jos:

Ca şi în cazul operaţiei “+”, există o operaţie opusă înmulţirii, şi anume împărţirea, notată cu “÷” sau “:”. Legătura între aceste două operaţii se poate observa în propoziţia următoare:
Dacă 3×5=15, atunci 15:5=3.
Cu alte cuvinte, dacă înmulţim un număr cu 5 şi apoi împărţim rezultatul la 5, obţinem numărul iniţial. Exemplele următoare ilustrează cum se împart două numere care au mai mult decat o cifră:

3	5	1	÷	3
3=3×1				1	1	7
=	5	-
	3=3×1
	2	1	-
	2	1	=3×7
	=	=

ORDINEA OPERAŢIILOR

În cazul în care dorim să evaluăm o expresie mai complicată, cum ar fi

trebuie să stabilim o ordine în care se efectuează operaţiile. Ordinea normală este să evaluăm mai întâi înmulţirile şi împărţirile şi numai apoi adunările şi scăderile. Deci expresia de mai sus se calculează:

Pentru a grupa operaţiile în diferite moduri, putem de asemenea utiliza paranteze, caz în care se evaluează mai întâi ce este inăuntrul parantezelor:

Parantezele pot fi imbricate, iar în acest caz calculăm paranteza cea mai din interior şi aşa mai departe:

Când lucrăm cu paranteze există câteva reguli de bază care ne permit sa le eliminăm în timpul calculului, şi anume distributivitatea:

În general, se aplică următoarele reguli, unde  sunt numere naturale:

REPREZENTAREA NUMERELOR NATURALE

În cele ce urmează vom ilustra modul în care numerele naturale pot fi reprezentate pe o linie dreaptă.
0    1    2    3    4    5    6    7                           a     a+1
 

Mai intâi reprezentăm numărul 0, apoi alegem un sement scurt numit unitate de măsură şi poziţionăm numărul următor,ă 1. Fiecare dintre numerele naturale următoare este reprezentat prin deplasare la dreapta cu o unitate de masură.
Nu există o limită la dreapta, deaoarece există întotdeauna un număr mai mare decât orice număr natural, obţinut prin adunare cu 1.
Se poate defini o relaţie între două numere naturale, specificând care este mai mare sau mai mic, în funcţie de poziţia celor două numere în reprezentarea pe axă.
Dacă un număr este situat la stânga altui număr, înseamnă că este mai mic, altfel, dacă este poziţionat la dreapta, este mai mare.
De exemplu 5 este mai mare decat 3, şi putem scrie

În acelaşi mod putem afirma că 1 este mai mic decât 7, şi putem scrie

Un alt mod de a descrie relaţia dintre două numere este următorul: numărul natural a este mai mic decât b dacă există un numar natural c astfel încât

adică trebuie să adăugam ceva la a pentru a ajunge la b.

NUMERE CU SEMN, ÎNTREGI

Am observat că atunci cand scădem, primul număr trebuie să fie întotdeauna mai mare decât cel de-al doilea. Dacă adunarea înseamnă deplasarea la dreapta pe axa de reprezentare, atunci scăderea înseamnă deplasarea la stânga. Dacă facem o deplasare la stânga cu un număr de unităţi mai mic decât poziţia curentă, obţinem un alt număr natural, care reprezintă rezultatul scăderii.
Ce se va întampla dacă vom continua deplasarea la stânga? Este de la sine înţeles că putem să extindem axa la stânga lui 0, dar nu există numere naturale în acea zonă, aşa că trebuie să definim alt tip de numere. Aceste numere sunt asemănătoare cu numerele naturale, cu excepţia faptului că au un minus la stânga. De exemplu, -1 este numărul obţinut prin deplasarea cu o unitate la stânga lui 0, aşa cum 1 este numărul obţinut din 0, prin deplasarea la dreapta cu o unitate.

                                    -4   -3   -2   -1    0    1    2   3
 

Acest lucru se exprimă în operaţii de bază astfel

În mod asemănător observăm că

Putem de asemenea defini scăderea între oricare două numere naturale ca scăderea dintre numărul mai mare şi numărul mai mic, în această ordine, cu semnul celui mai mare. De exemplu:

pentru că 17 este mai mare decât 15 şi are semnul minus.
Folosind aceste reguli, operaţiile definite pentru numerele naturale pot fi definite şi pentru numere cu semn, luând în considerare următoarele reguli pentru semn:

În general

pentru oricare număr a.
La înmulţire, trebuie folosit următorul tabel cu semnele operaţiilor: