Números Enteros

 

	Este proyecto ha sido financiado con el apoyo de la Comisión Europea. Esta comunicación refleja exclusivamente la opinión del autor; la Comisión no se hace responsable de uso alguno que pueda hacerse de la información aquí contenida

 

Objetivos

Una vez finalizada esta unidad usted podrá:

• Comprender el uso de los números naturales
• Comprender el concepto de número entero negativo.
• Comprender y efectuar operaciones básicas con números naturales y enteros.
• Representar los números enteros en la línea numérica y comprender las relaciones del orden entre los números enteros

Introducción yoperaciones básicas

Los números naturales tienen sus orígenes en las palabras utilizadas para contar las cosas comenzando con el número 1. Un paso posterior en la abstracción fue el desarrollo de la idea del cero como un número con su propia representación.

El conjunto de los números naturales se representa con  y contiene los siguientes números:

La operación básica que tiene lugar en este conjunto de números es la suma que se expresa con el símbolo “+”. Podemos obtener cualquier número natural añadiendo 1 al número precedente, excepto en el caso del 0.

Algunos ejemplos de suma:

Sumar dos números es casi contar a la vez dos conjuntos de objetos. Las reglas de la suma se basan en la suma entre los 10 números naturales, también conocidos como dígitos:

Cualquier suma entre números superiores a estos diez se basa en operaciones entre los diez dígitos.

La segunda operación de un conjunto de números naturales es la resta que es la opuesta a la suma ya que quitamos un número de objetos y contamos los que quedan. En el caso de los números naturales, el número de objetos retirados debe ser siempre menor o igual al número inicial de objetos. Observemos el siguiente ejemplo:

Como podemos ver, si sumamos el resultado al número que hemos restado, obtenemos el número inicial:

Y este es el método habitual para verificar las restas.

Ahora vamos a ver la siguiente operación entre los números naturales, esto es, la multiplicación que se representa con “×” o “∙”. Por decirlo de manera sencilla, la multiplicación es repetir la suma del mismo número. Por ejemplo, en lugar de escribir:

Tendremos:

Es decir, cinco veces cuatro son veinte.

¡Has de tener en cuenta que…!

Debemos tener en cuenta que cualquier número multiplicado por 0 es 0, y todo número multiplicado por 1 es el propio número. Cuando multiplicamos un número por 10, le añadimos un 0.

A continuación le presentamos la tabla de multiplicar completa de los números 1 a 10:

Como en el caso de la operación de “+”, existe una operación opuesta a la multiplicación y es la división que se representa por “÷” o “:”. La conexión entre las dos operaciones se ve en el siguiente ejemplo:
Si 3×5=15, entonces 15:5=3.

Orden de las operaciones

En caso de que queramos calcular una operación más complicada, como la siguiente:

Necesitamos establecer un orden de ejecución de las operaciones. El orden natural es hacer primero las multiplicaciones y divisiones y sólo después se pasará a las sumas y restas. Por tanto la operación anterior se haría del siguiente modo:

Para agrupar las operaciones por grupos, utilizamos los paréntesis en cuyo caso calculamos primero lo que está dentro del paréntesis:

Los paréntesis se pueden anidar (uno dentro de otro) y en este caso, calculamos primero lo que está en el paréntesis más interno y así sucesivamente:

Cuando trabajamos por paréntesis, existen una serie de reglas básicas que nos permiten eliminarlos durante los cálculos y que es la llamada propiedad distributiva:

IEn general, se aplican las siguientes reglas, dónde  son números naturales:

 

Representación de los números naturales

A continuación presentamos cómo se pueden representar los números naturales en una línea recta.

0    1    2    3    4    5    6    7                           a     a+1

Primero, representamos el número 0, luego elegimos un pequeño segmento que lo denominamos unidad de medición y colocamos el siguiente número, que es 1.

Cada uno de los siguientes números naturales se representan al lado derecho del número precedente, en la llamada unidad de medida. No hay límite al lado derecho, ya que siempre hay un número mayor que cualquier número natural, sólo hay que sumar 1.
Se puede definir una relación entre dos números naturales al establecer cuál de ellos es mayor o menor, dependiendo de su posición en la línea de representación.
Si un número está situado a la izquierda de otro número, significa que es menor. Por el contrario, si se coloca a la derecha, es mayor.

Por ejemplo 5 es mayor que 3, y entonces ponemos:

Del mismo modo, podemos asegurar que 1 es menor que 7 y escribir:

Otra manera de describir la relación entre dos números es la siguiente: el número natural a es menor que b si hay un número natural c del tipo

that is we must add something to a to reach b.

Es decir que debemos sumar algo a a para llegar a b.

Números con signos. Enteros

Nos hemos dado cuenta que cuando hacemos una resta, el primer número debe ser siempre mayor que el segundo. Si sumar significa moverse a la derecha del eje de representación (línea numérica), entonces restar significa moverse a la izquierda. Si nos movemos hacia la izquierda con un número de unidades menor que la posición actual, podemos obtener otro número natural que es el resultado de la resta.
¿Qué ocurriría si nos moviéramos más a la izquierda?. Está claro que podemos ampliar la línea hacia la izquierda del 0, pero no hay números naturales ahí, así que debemos definir esos números nuevos.
Estos números son similares a los números naturales, excepto que tendrá el signo menos a su izquierda. Por ejemplo,-1 es el número obtenido al moverse una unidad a la izquierda del 0, del mismo modo que el 1 es el número que se obtiene desde el 0 moviéndose una unidad a la derecha.

  

                                  -4   -3   -2   -1    0    1    2   3

En relación con las operaciones básicas:

Y del mismo modo:

Podemos también definir la resta entre dos números naturales como una resta entre el número mayor y el menor en este orden, con el signo del mayor. Por ejemplo:

Ya que 17 es mayor que  15, y tiene el signo menos.
Con estas reglas, las operaciones definidas por los números naturales se pueden también definir por los números con signo. Estas reglas del signo son:

En general:

Para cualquier número natural a.

Cuando multiplicamos, debemos utilizar la siguiente tabla de operaciones con signo:

Se aplican las mismas reglas cuando se dividen dos números con signo. Ahora que hemos definido los números con signo, podemos agruparlos con los números naturales en un único conjunto de números ya que se pueden realizar todas las operaciones entre ellos. Este conjunto es un conjunto de números enteros y se denomina con :

Las relaciones entre los enteros son similares a las relaciones entre los números naturales, es decir que un número es menor que otro, si se coloca a su izquierda. Cómo regla general, cualquier número (con signo) negativo es menor que cualquier número natural (positivo, sin signo) incluyendo el 0.

En el caso de dos números con signo (negativos), la relación es la siguiente: un número  es menor que un número  si el primer número sin signo,  es mayor que el segundo sin signo, .
Tengamos en cuenta que si sumamos un número natural con correspondiente con signo obtenemos 0: